Si la batería estaba en buen estado cuando se descargó, podrá volverse a cargar casi por completo y seguirá prestando servicio sin mayor problema. En todo caso, estas descargas producen algún daño permanente a las baterías, las que no están diseñadas para descargas profundas, pero si no te ocurre muy seguido, el daño será leve.
El hecho que el auto parta "de una" como indicas, es buen síntoma, pero si mantuviste el auto andando solo unos 10 minutos, seguramente la batería no está completamente cargada. Para que se cargue completamente se requiere bastante mas tiempo (horas).
Deja que pasen unos días de uso, para darle tiempo de recargarse y observa su comportamiento. Si todavía te da desconfianza, puedes acudir a un taller de electricidad automotriz para que midan el estado de la batería. Un buen taller dispone de medios para determinar en un par de minutos que tan cargada está la batería y no deberían cobrar mucho por este servicio.
